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Sommatoria e integrale

Esiste un metodo generale per passare da "lim_{n->inf} Sum A" a "Int
B"?
Per es. assumete di avere f(t) = (r(t)cos(w(t)), r(t)sin(w(t))) con r e
w funzioni R->R continue e w monotona crescente. Siano t1 e t2 numeri
reali tali che 0 <= w(t1) <= w(t2) <= 2pi.
Se voglio calcolare l'area dell'insieme dei punti
S_{t1,t2} = {(x,y) | esistono k,t in R . ( k in [0,1], t in [t1,t2] e
(x,y) = kf(t) )},
cioè l'area "spazzata" dal vettore f(t) da t1 a t2, posso procedere nel
modo seguente.

Sia A(t1,t2) l'area di S_{t1,t2} e h(x) = t1 + (t2-t1)x/n. Avrei dovuto
scrivere h(x,n,t1,t2), ma è troppo scomodo.
A(t1,t2) = lim_{n->inf}
1/2 Sum_{x=1}^n |f(h(x-1))| |f(h(x))| sin[w(h(x))-w(h(x-1))],
cioè approssimo S_{t1,t2} con un insieme di n triangoli.

Adesso iniziano i problemi. Come risolvo quel limite?
Se fossi un fisico potrei dire qualcosa del genere:
n->inf =>
h(x-1)->h(x)
f(h(x-1))->f(h(x)) (f è continua)
sin[w(h(x))-w(h(x-1))]->w(h(x))-w(h(x-1))

quindi abbiamo
|f(h(x))|^2 [w(h(x))-w(h(x-1))]

|f(h(x))|^2 [w(h(x))-w(h(x-1))]/[h(x)-h(x-1)]*[h(x)-h(x-1)]

quindi ottengo, assumendo che w sia anche differenziabile,

Int_{t1}^{t2} |f(t)|^2 w'(t)dt

Int_{t1}^{t2} r(t)^2 w'(t)dt

Non so perché ma non mi soddisfa :-)
Voi come procedereste?

Kiuhnm

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