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Congruenze e regole di divisibilita'

Dal Davenport (introduzione all' aritmetica superiore)

ogni n intero si puo' scrivere cosi' :

a10^0 + b10^1 + c10^2 + d10^3 + ... leggendo le cifre da sinistra
a destra con a,b,c,d, ... appartenenti all' insieme finito :
{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }.

Ora non so *come diavolo*  si sono accorti che siccome :
10 = 1 (mod 9)
100 = 1 (mod 9) ...
...
allora per le proprieta' delle congruenze
a 1 = a (mod 9)
b 10 = b (mod 9)
...

Sommando membro a membro si trova che
n = a + b + c + d + ... (mod 9).
Quindi (io ci arrivo passo passo, sono *lento*)
il numero n e questo : a + b + ... , differiscono
solo per un multiplo di 9. Quindi se n e' divisibile per 9
deve esserlo pure a + b + c + ... E se a + b + c ... e'
divisibile per 9 deve esserlo pure n. ... Bello no ?

Appena afferrato il giochetto ho provato a vedere la regola
per il 7 e mi sono accorto che invece non l' ho afferrato, il
giochetto ... :-(

allora 10 = 3 (mod 7)

Poi :

a 1 = 3 a (mod 7)
b 10 = 3 b (mod 7)
...
quindi n = 3 (a + b + c + ...) (mod 7)
che e' sbagliato ...
Perche' ?!?

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