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Problema di Cauchy (unicita')

Consideriamo la funzione
g(y)=y log y
definita sull'intervallo (0,+inf).
La funzione parte da zero con derivata
-inf, decresce ed ha un minino in corrispondenza
di y=a, per un certo valore a>0.

Si definisca quindi la funzione f(y),
continua su tutto R,
nel modo seguente:
f(y) = 0   se   y<=0
f(y) = g(y)  se 0<y<=a
f(y) = g(a)  se y>a

Si noti che f(y) NON e' Lipschitz in un intorno di zero.

Studiamo il Problema di Cauchy nell'incognita y=y(t)
y'=f(y)
y(0)=0

Il teorema di Peano garantisce l'esistenza
di *almeno* una soluzione (e in effetti si vede subito
che y(t)=0 e' soluzione).
Tuttavia, non essendoci Lipschitzianita' nell'intorno
di zero, il Teorema di esistenza
e unicita' non e' applicabile, e pertanto a priori
non sappiamo se esitano altre soluzioni.

Esercizio:
Dimostrare "a mano" che la soluzione y(t)=0 e' anche l'unica.

N.B. La conseguenza e' secondo me piuttosto
interessante: il classico Teorema di esistenza
e unicita' stabilisce solo una condizione sufficiente.
Forse l'osservazione e' banale; eppure non si trova
sui libri (o magari c'e' ma io non l'ho trovata).

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