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Dedekind 2

Sia X_0 l'insieme di tutte le sequenze a valori in R (cioè di tutte le
funzioni N->R). Due elementi di X_0 sono equivalenti se differiscono al
più in un numero finito di punti di N. Sia X l'insieme di tutte le
classi d'equivalenza [x] dove x in X_0. Addizione e moltiplicazione in
X_0 sono definite punto per punto (pointwise). In X sono definite come
[x]+[y] := [x+y] e [x]*[y] = [x*y], e scriviamo [x] <= [y] sse x non
supera y se non in un numero finito di punti. Le classi d'equivalenza
delle sequenze costanti formano una copia canonica di R. Inoltre, X
contiene infinitesimi non nulli.

X è totalmente ordinato?
No (si consideri [x] e [y] dove x = (0,1,0,1,0,...) e y = (1,0,1,0,1,...))
E' un campo?
Mi pare di sì.
E' Dedekind completo?
Non sono sicurissimo, ma mi pare di sì. Se non sbaglio, sup{s_1, s_2,
...} = [x] dove x = (sup{s_1(1), s_2(1), ...}, sup{s_1(2), s_2(2), ...},
...), cioè eseguo il sup pointwise.
E' archimedeo?
No (si consideri (1,2,3,4,...)).

Kiuhnm

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